Question

16．如圖，在多面體ABCDM中，△BCD是等邊三角形，△CMD是等腰直角三角形，∠CMB=90°，平面CMD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，點O為CD的中點，連接OM．
（1）求證：OM∥平面ABD；
（2）若AB=BC=4，求三棱錐A-BDM的體積．

Answer 1

分析 （1）推導出OM⊥CD，從而OM⊥平面BCD，進而OM∥AB，由此能證明OM∥平面ABD．
（2）由V_A-BDM=V_M-ABD=V_O-ABD=V_A-BDO，能求出三棱錐A-BDM的體積．

解答 證明：（1）∵△CMD是等腰直角三角形，∠CMD=90°，點O為CD的中點，
∴OM⊥CD．
∵平面CMD⊥平面BCD，平面CMD∩平面BCD=CD，OM?平面BCD，
∴OM⊥平面BCD，
∵AB⊥平面BCD，
∴OM∥AB，
∵AB?平面ABD，OM?平面ABD，
∴OM∥平面ABD．
解：（2）由（1）知OM∥平面ABD，
∵點M到平面ABD的距離等于點O到平面ABD的距離．
∵AB=BC=4，△BCD是等邊三角形，
∴BD=4，OD=2，
連接OB，則OB⊥CD，$OB=2\sqrt{3}$，${V_{A-BDM}}={V_{M-ABD}}={V_{O-ABD}}={V_{A-BDO}}=\frac{{8\sqrt{3}}}{3}$，
∴三棱錐A-BDM的體積為$\frac{{8\sqrt{3}}}{3}$．

點評 本題考查線面平行的證明，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意等體積法的合理運用．