Question

4．已知函數f（x）=2^x+a•2^-x是定義域為R的奇函數．
（I）求實數a的值；
（Ⅱ）證明f（x）是R上是單調函數；
（Ⅲ）若對于任意的μ＞0，不等式f[（lgμ）²-lgμ²]+f[（lgμ）²-k]＞0恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）依題意，由f（0）=0可求得實數a的值；
（Ⅱ）利用定義證明，令x₁＜x₂，作差化簡后為f（x₂）-f（x₁）=（${2}^{{x}_{2}}$-${2}^{{x}_{1}}$）（1+$\frac{1}{{2}^{{x}_{1}{+x}_{2}}}$），再判斷符號，即可證明f（x）是R上是單調（增）函數；
（Ⅲ）令t=lgμ，結合題意，利用奇函數f（x）為R上的增函數的性質，可得2t²-2t-k＞0在t∈R上恒成立，由△=4+8k＜0，可求得k的取值范圍．

解答 解：（ I）∵f（x）=2^x+a•2^-x是定義域為R的奇函數，
∴f（0）=1+a=0，∴a=-1，
經檢驗當a=-1時，f（x）是奇函數，故所求a=-1．…（2分）
（Ⅱ）f（x）=2^x-2^-x，?x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
f（x₂）-f（x₁）=（${2}^{{x}_{2}}$-${2}^{{-x}_{2}}$）-（${2}^{{x}_{1}}$-${2}^{{-x}_{1}}$）=（${2}^{{x}_{2}}$-${2}^{{x}_{1}}$）（1+$\frac{1}{{2}^{{x}_{1}{+x}_{2}}}$）…（4分）
∵x₁＜x₂，∴0＜${2}^{{x}_{1}}$＜${2}^{{x}_{2}}$，即${2}^{{x}_{2}}$-${2}^{{x}_{1}}$＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）是R上的遞增函數，即f（x）是R上的單調函數．…（6分）
（Ⅲ）令t=lgμ，則
∵根據題設及（2）知：f（t²-2t）+f（t²-k）＞0?f（t²-2t）＞-f（t²-k）=f（k-t²）?t²-k＞k-t²?2t²-2t-k＞0，…（10分）
∴原不等式恒成立即是2t²-2t-k＞0在t∈R上恒成立，
∴△=4+8k＜0，
∴所求k的取值范圍是k＜-$\frac{1}{2}$．…（12分）

點評 本題考查函數恒成立問題，考查奇偶性的判定與性質的綜合運用，考查運算、推理能力，屬于難題．