Question

6．已知f（x）=lnx+x²-bx．
（1）若函數f（x）在其定義域內是增函數，求b的取值范圍；
 （2）當b=-1時，設g（x）=f（x）-2x²，求函數g（x）的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，問題轉化為b≤$\frac{1}{x}$+2x對x∈（0，+∞）恒成立，根據不等式的性質求出b的范圍即可；
（2）求出g（x）的解析式，求出函數的導數，得到函數的單調區間，從而求出函數的最大值即可．

解答 解：（1）∵f（x）在（0，+∞）上遞增，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$+2x-b≥0，對x∈（0，+∞）恒成立，
即b≤$\frac{1}{x}$+2x對x∈（0，+∞）恒成立，
∴只需b≤（$\frac{1}{x}$+2x）_min，
∵x＞0，∴$\frac{1}{x}$+2x≥2$\sqrt{2}$，當且僅當x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時取“=”，
∴b≤2$\sqrt{2}$，
∴b的取值范圍為（-∞，2$\sqrt{2}$]．
（2）當b=-1時，g（x）=f（x）-2x²=lnx-x²+x，其定義域是（0，+∞），
∴g′（x）=$\frac{1}{x}$-2x+1=-$\frac{（2x+1）（x-1）}{x}$，
令g′（x）=0，解得：x=1，
當0＜x＜1時，g′（x）＞0；當x＞1時，g′（x）＜0，
∴函數g（x）在區間（0，1）上單調遞增，在區間（1，+∞）上單調遞減，
∴x=1是g（x）的唯一極大值點，則g（x）有最大值為0．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及轉化思想，是一道中檔題．