Question

已知關于x的方程x²-（t-2）x+t²+3t+5=0有兩個實數根，

a

=（-1，1，3），

b

=（1，0，-2），

c

=a+tb，當|

c

|取最小值時，求t的值．

Answer 1

考點：空間兩點間的距離公式

專題：平面向量及應用

分析：根據關于實數x的方程x²-（t-2）x+t²+3t+5=0有兩個實根，得出△≥0，解得t的取值范圍，再根據向量模的概念求出|

c

|的表達式，最后利用二次函數的性質求出最小值即可．

解答： 解：∵關于實數x的方程x²-（t-2）x+t²+3t+5=0有兩個實根，
∴△=（t-2）²-4（t²+3t+5）≥0----------（2分）
解得：-4≤t≤-

4

3

-----------（2分）       
∵向量

a

=（-1，1，3），

b

=（1，0，-2），
∴|

c

|²=（

a

+t

b

）²=5t²-10t+11-----------（3分）
當t=1，|

c

|_min=

6

---------------（3分）

點評：本小題主要考查向量的模、二次函數的性質、一元二次方程的根的分布與系數的關系、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于基礎題．