Question

已知函數f（x）=|2^x-1-1|（x∈R）．
（1）證明：函數f（x）在區間（1，+∞）上為增函數，并指出函數f（x）在區間（-∞，1）上的單調性．
（2）若函數f（x）的圖象與直線y=t有兩個不同的交點A（m，t），B（n，t），其中m＜n，求mn關于t的函數關系式．
（3）求mn的取值范圍．

Answer 1

考點：函數的圖象,函數單調性的性質

專題：函數的性質及應用

分析：（1）用單調性的定義證明即可；
（2）易知A（m，t），B（n，t）分別位于直線x=1的兩側，由m＜n，得m＜1＜n，故2^m-1-1＜0，2^n-1-1＞0，易得mn的表達式，解之即可；
（3）分兩種情況，當0＜t＜

1

2

時，當

1

2

＜t＜1時，再由基本不等式可得．

解答： 解：（1）證明：任取x₁∈（1，+∞），x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂，
f(x1)-f(x2)=|2x1-1-1|-|2x2-1-1|=(2x1-1-1)-(2x2-1-1)=

1

2

(2x1-2x2)，
∵x₁＜x₂，
∴2x1＜2x2，
∴2x1-2x2＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂）．
所以f（x）在區間（1，+∞）上為增函數．
函數f（x）在區間（-∞，1）上為減函數．

（2）因為函數f（x）在區間（1，+∞）上為增函數，相應的函數值為（0，+∞），在區間（-∞，1）上為減函數，相應的函數值為（0，1），由題意函數f（x）的圖象與直線y=t有兩個不同的交點，故有t∈（0，1），
易知A（m，t），B（n，t）分別位于直線x=1的兩側，由m＜n，得m＜1＜n，故2^m-1-1＜0，2^n-1-1＞0，
又A，B兩點的坐標滿足方程t=|2^x-1-1|，故得t=1-2^m-1，t=2^n-1-1，
即m=log₂（2-2t），n=log₂（2+2t），
故mn=log₂（2-2t）•log₂（2+2t）．

（3）當0＜t＜

1

2

時，0＜m＜1，1＜n＜log₂3，故0＜mn＜log₂3，
又mn≤

(m+n)2

4

=

1

4

[log2(4-4t2)]2＜

1

4

(log24)2=1，因此0＜mn＜1；
當

1

2

＜t＜1時，m＜0，0＜log₂3＜n＜2，從而mn＜0； 
綜上所述，mn的取值范圍為（-∞，1）．

點評：本題主要考查函數性質的綜合運用，合理轉化是解題的關鍵，注意運算要細心．