Question

5．如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，左頂點為A（-2，0），過點A作斜率為k（k≠0）的直線l交橢圓C于點D，交y軸于點E．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知點P為AD的中點，是否存在頂點Q，對于任意的k（k≠0）都有OP⊥EQ？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的離心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，左頂點（-2，0），求出a，b，由此能求出橢圓方程．
（2）直線的方程為y=k（x+2），與橢圓聯立，得（x+2）（4k²+1）x+8k²-2]=0，由此利用韋達定理、中點坐標公式、直線方程、直線垂直、橢圓性質，結合已知條件能求出定點Q的坐標．

解答 解：（1）∵左頂點為A（-2，0），∴a=2，
又∵e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴c=$\sqrt{3}$，
又∵b²=a²-c²=1，…（2分）
∴橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．…（3分）
（2）直線的方程為y=k（x+2），
聯立橢圓方程，消元化簡得（x+2）（4k²+1）x+8k²-2]=0，
∴x=-2或$\frac{2-8{k}^{2}}{4{k}^{2}+1}$，…（6分）
又∵點P為AD的中點，∴P（$\frac{-8{k}^{2}}{4{k}^{2}+1}$，$\frac{2k}{4{k}^{2}+1}$），
則k_OP=-$\frac{1}{4k}$（k≠0），…（9分）
直線l的方程為y=k（x+2），令x=0，得E（0，2k），
假設存在定點Q（m，n）（m≠0）使得OP⊥EQ，則k_OP•k_EQ=-1，
即-$\frac{1}{4k}$•$\frac{n-2k}{m}$=-1，
∴（4m+2）k-n=0恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4m+2=0}\\{-n=0}\end{array}\right.$，即m=-$\frac{1}{2}$，n=0，
因此定點Q的坐標為（-$\frac{1}{2}$，0）…（12分）

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查滿足直線與直線垂直的定點是否存在的判斷與求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意韋達定理、中點坐標公式、直線方程、直線垂直、橢圓性質的合理運用．