Question

10．已知數列{a_n}，其前n項和為S_n，給出下列命題：
①若{a_n}是等差數列，則$（{10，\frac{{{S_{10}}}}{10}}），（{100，\frac{{{S_{100}}}}{100}}），（{110，\frac{{{S_{110}}}}{110}}）$三點共線；
②若{a_n}是等差數列，則${S_m}，{S_{2m}}-{S_m}，{S_{3m}}-{S_{2m}}（{m∈{N^*}}）$；
③若${a_1}=1，{S_{n+1}}=\frac{1}{2}{S_n}+2$，則數列{a_n}是等比數列；
④若${a_{n+1}}^2={a_n}{a_{n+2}}$，則數列{a_n}是等比數列．
其中證明題的序號是①②．

Answer 1

分析 ①根據等差數列的前n項和公式和和一次函數的性質進行判斷；
②若{a_n}是等差數列，利用等差數列前n項和公式，求出S_m、S_2m-S_m、S_3m-S_2m（m∈N^*）即可判斷是否是等差數列；
③首先，根據所給關系式，得到a₂=$\frac{3}{2}$，a₃=$\frac{3}{4}$，從而很容易判斷該數列不是等比數列．
④根據等比數列的性質和遞推公式進行判斷．

解答 解：①∵等差數列{a_n}前n項和為S_n=na₁+$\frac{n（n-1）d}{2}$，
∴$\frac{{S}_{n}}{n}$=（a₁-$\fracp9vv5xb5{2}$）+$\fracp9vv5xb5{2}$n，
∴數列{$\frac{{S}_{n}}{n}$}關于n的一次函數（d≠0）或常函數（d=0），故$（{10，\frac{{{S_{10}}}}{10}}），（{100，\frac{{{S_{100}}}}{100}}），（{110，\frac{{{S_{110}}}}{110}}）$三點共線，正確；
②設等比數列{a_n}的公差為d，A=S_m，B=S_2m-S_m，C=S_3m-S_2m則
B=S_2m-S_m=a_m+1+a_m+2+…+a_2m，C=S_3m-S_2m=a_2m+1+a_2m+2+…+a_3m，
則B-A=a_m+1+a_m+2+…+a_2m-（a₁+a₂+…+a_m）=m²d，
C-B=a_2m+1+a_2m+2+…+a_3m-（a_m+1+a_m+2+…+a_2m）=m²d，
則B-A=C-B，即A，B，C成等差數列，
即${S_m}，{S_{2m}}-{S_m}，{S_{3m}}-{S_{2m}}（{m∈{N^*}}）$成等比數列，正確；
③∵S_n+1=$\frac{1}{2}$S_n+2，a₁=1，
∴a₁+a₂=$\frac{1}{2}$a₁+2，
解得a₂=$\frac{3}{2}$，
∴a₁+a₂+a₃=$\frac{1}{2}$（a₁+a₂）+2，即1+$\frac{3}{2}$+a₃=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{3}{2}$）+2，
解得a₃=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$≠$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$，
∴數列{a_n}不是等比數列，錯誤；
④當a_n=0時，${a_{n+1}}^2={a_n}{a_{n+2}}$成立，但是數列{a_n}不是等比數列，錯誤；
故答案是：①②．

點評 本題考查等差數列、等比數列的基本性質，通過對數列的研究，培養學生主動探索、勇于發現的求知精神；養成細心觀察、認真分析、善于總結的良好思維習慣．