Question

8．已知直線l的參數方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數），以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ=2sinθ-2cosθ
（Ⅰ）求曲線C的普通方程．
（Ⅱ）求直線l被曲線C截得的弦長．

Answer 1

分析 （I）把極坐標方程根據x=ρcosθ，y=ρsinθ，化為直角坐標方程．
（II）由條件求得直線方程：x-y+2=0，由圓心在直線上，可得直線l被曲線C截得的弦長為直徑，從而求得結果．

解答 解：（Ⅰ）由ρ=2sinθ-2cosθ，可得ρ²=2ρsinθ-2ρcosθ
所以曲線C的直角坐標方程為x²+²=2y-2x
標準方程為（x+1）²+（y-1）²=2

（Ⅱ）直線l的參數方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數），
化成普通方程為y=x+2．
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=2y-2x}\\{y=x+2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=2}\end{array}\right.$或 $\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=0}\end{array}\right.$．
所以直線l與曲線C相交于A（0，2），B（-2，0）兩點
則直線l被曲線C截得的弦長：|AB|=2$\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查把參數方程、極坐標方程化為直角坐標方程的方法，點到直線的距離公式的應用，直線和圓的位置關系，屬于基礎題．