Question

18．函數f（x）的定義域為R，以下命題正確的是（　　）
①同一坐標系中，函數y=f（x-1）與函數y=f（1-x）的圖象關于直線x=1對稱；
②函數f（x）的圖象既關于點（-$\frac{3}{4}$，0）成中心對稱，對于任意x，又有f（x+$\frac{3}{2}$）=-f（x），則f（x）的圖象關于直線x=$\frac{3}{2}$對稱；
③函數f（x）對于任意x，滿足關系式f（x+2）=-f（-x+4），則函數y=f（x+3）是奇函數．

• A． ①②
• B． ①③
• C． ②③
• D． ①②③

Answer 1

分析 由y=f（x）與y=f（-x）關于y軸對稱，同時結合函數的圖象平移判斷①；由函數f（x）的圖象既關于點（-$\frac{3}{4}$，0）成中心對稱，得f（$-\frac{3}{2}-x$）=-f（x），又f（x+$\frac{3}{2}$）=-f（x），得f（$-\frac{3}{2}-x$）=f（x+$\frac{3}{2}$），即f（-x）=f（x），再由f（x+$\frac{3}{2}$）=-f（x），可得函數周期T=3，進一步得f（x+$\frac{3}{2}$）=f（$-\frac{3}{2}-x$）=f（x-$\frac{3}{2}$）判斷②；
由已知可得函數f（x）的圖象關于（3，0）對稱，而函數y=f（x+3）是把y=f（x）向左平移3個單位得到的判斷③．

解答 解：對于①，∵y=f（x）與y=f（-x）關于y軸對稱，
而y=f（x-1）與y=f（1-x）都是y=f（x）與y=f（-x）向右平移1個單位得到的，
∴函數y=f（x-1）與函數y=f（1-x）的圖象關于直線x=1對稱，故①正確；
對于②，函數f（x）的圖象既關于點（-$\frac{3}{4}$，0）成中心對稱，
則f（$-\frac{3}{2}-x$）=-f（x），而對于任意x，又有f（x+$\frac{3}{2}$）=-f（x），
∴f（$-\frac{3}{2}-x$）=f（x+$\frac{3}{2}$），即f（-x）=f（x），
又根據f（x+$\frac{3}{2}$）=-f（x），可得函數周期T=3，∴f（x+$\frac{3}{2}$）=f（$-\frac{3}{2}-x$）=f（x-$\frac{3}{2}$），
∴f（x）的圖象關于直線x=-$\frac{3}{2}$對稱，則f（x）的圖象關于直線x=$\frac{3}{2}$對稱，故②正確；
對于③，∵$\frac{（x+2）+（-x+4）}{2}=3$，∴函數f（x）的圖象關于（3，0）對稱，
而函數y=f（x+3）是把y=f（x）向左平移3個單位得到的，
∴函數y=f（x+3）是奇函數，故③正確．
故選：D．

點評 本題考查命題的真假判斷與應用，考查復合函數的性質問題，若對函數定義域內的任意一個變量x，都有①，f（x）=2b-f（2a-x），則函數關于點（a，b）成中心對稱；②f（x）=f（2a-x），則函數圖形關于直線x=a對稱．該題是中檔題．