Question

13．“[x]”表示不超過實數x的最大的整數，如[1.3]=1，[2]=2，[-2.3]=-3，又記{x}=x-[x]，已知函數f（x）=[x]-{x}，x∈R，給出以下命題：
①f（x）的值域為R；
②f（x）在區間[k，k+1]，k∈Z上單調遞減；
③f（x）的圖象關于點（1，0）中心對稱；
④函數|f（x）|為偶函數．
其中所有正確命題的序號是①（將所有正確命題序號填上）

Answer 1

分析 由題意畫出分段函數的圖象，由圖象逐一核對四個命題得答案．

解答 解：由題意，f（x）=[x]-{x}=[x]-{x-[x]}=2[x]-x．
作出函數f（x）=2[x]-x的圖象如圖，

由圖可知，f（x）的值域為R，故①正確；
f（x）在區間[k，k+1），k∈Z上單調遞減，故②錯誤；
f（x）的圖象不關于點（1，0）中心對稱，故③錯誤；
函數|f（x）|不是偶函數，故④錯誤．
∴正確命題的序號為①．
故答案為：①．

點評 本題考查命題的真假判斷與應用，考查數形結合的解題思想方法，考查分段函數的應用，是中檔題．