Question

11．△ABC中，若4sinA+2cosB=4，$\frac{1}{2}sinB+cosA=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，則角C=$\frac{π}{6}$．

Answer 1

分析 先對條件中兩個式子平方后相加得到關(guān)于A+B的正弦值，再由誘導(dǎo)公式得到角C的正弦值，最后得到答案．

解答 解：∵4sinA+2cosB=4，$\frac{1}{2}sinB+cosA=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴2sinA+cosB=2，sinB+2cosA=$\sqrt{3}$，
∴兩邊同時平方，然后兩式相加，化簡得5+4（sinAcosB+sinBcosA）=7，
∴sin（A+B）=$\frac{1}{2}$，
∴sin（180°-C）=sinC=$\frac{1}{2}$，
∴得出∠C=$\frac{π}{6}$或$\frac{5π}{6}$．
∵若∠C=$\frac{5π}{6}$，可得：A+B=$\frac{π}{6}$，cosB＜1，2sinA＜1，2sinA+cosB=2，不成立，
∴∠C=$\frac{π}{6}$．
故答案為：$\frac{π}{6}$．

點評 本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和兩角和與差的正弦公式的應(yīng)用．屬基礎(chǔ)題．