Question

2．設△ABC是邊長為1的正三角形，點P₁，P₂，P₃四等分線段BC（如圖所示）．
（1）求$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{A{P_1}}+\overrightarrow{A{P_1}}•\overrightarrow{A{P_2}}$的值；
（2）Q為線段AP₁上一點，若$\overrightarrow{AQ}=m\overrightarrow{AB}+\frac{1}{12}\overrightarrow{AC}$，求實數m的值；
（3）P為邊BC上一動點，當$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PC}$取最小值時，求cos∠PAB的值．

Answer 1

分析 （1）根據余弦定理和向量的數量積即可求出，
（2）根據向量的加減的幾何意義以及，向量的數量積，即可求出m的值，
（3）要使當$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PC}$最小，則P必在線段P₂C上，根據二次函數的性質即可求出．

解答 解：（1）原式=$\overrightarrow{A{P_1}}•（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A{P_2}}）=2{\overrightarrow{A{P_1}}^2}$，
在△ABP₁中，由余弦定理，得$A{P_1}^2=1+\frac{1}{16}-2×1×\frac{1}{4}×cos{60^0}=\frac{13}{16}$，
所以$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{A{P_1}}+\overrightarrow{A{P_1}}•\overrightarrow{A{P_2}}$=$\frac{13}{8}$；
（2）易知$\overrightarrow{B{P_1}}=\frac{1}{4}\overrightarrow{BC}$，即$\overrightarrow{A{P_1}}-\overrightarrow{AB}=\frac{1}{4}（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$，即$\overrightarrow{A{P_1}}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$，
因為Q為線段AP₁上一點，
設$\overrightarrow{AQ}=λ\overrightarrow{AP}=\frac{3}{4}λ\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}λ\overrightarrow{AC}=m\overrightarrow{AB}+\frac{1}{12}\overrightarrow{AC}$，
所以$m=\frac{1}{4}$；
（3）①當P在線段BP₂上時（不含P₂），此時$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PC}$＞0，
②當P在線段P₂C上時（不含P₂），$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PC}$≤0，
要使當$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PC}$最小，則P必在線段P₂C上，
設$|{\overrightarrow{PC}}|=x$，由于AP₂⊥BC，則$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PC}=|{\overrightarrow{PA}}|•|{\overrightarrow{PC}}|cos∠APC$=|$\overrightarrow{PC}$|²•（-|$\overrightarrow{P{P}_{2}}$|）=x（x-$\frac{1}{2}$）=x²-$\frac{1}{2}$x
當$x=\frac{1}{4}$時，即當P為P₃時，$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PC}$最小，此時 由余弦定理可求得$cos∠PAB=\frac{5}{26}\sqrt{13}$

點評 本題主要考查兩個向量的數量積的運算，二次函數的性質，余弦定理，體現了轉化的數學思想，屬于中檔題．