Question

14．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦點為F₁（1，0），離心率為e．設A，B為橢圓上關于原點對稱的兩點，AF₁的中點為M，BF₁的中點為N，原點O在以線段MN為直徑的圓上．若直線AB的傾斜角α∈（0，$\frac{π}{3}$），則e的取值范圍是[$\sqrt{3}$-1，1）．

Answer 1

分析 由題意可知：|F₁C|=|CO|=$\frac{1}{2}$，由|CM|=|CN|．原點O在以線段MN為直徑的圓上，則|OA|=|OB|=c=1．由橢圓的性質，可知$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}-1}=1}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，可得到A點坐標，從而求出OA的斜率，由直線AB斜率為0＜k≤$\sqrt{3}$，求出a的取值范圍，從而求出e的取值范圍．

解答 解：由橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦點在x軸上，記線段MN與x軸交點為C，
由AF₁的中點為M，BF₁的中點為N，
∴MN∥AB，|F₁C|=|CO|=$\frac{1}{2}$，
∵A、B為橢圓上關于原點對稱的兩點，
∴|CM|=|CN|．
∵原點O在以線段MN為直徑的圓上，
∴|CO|=|CM|=|CN|=$\frac{1}{2}$．
∴|OA|=|OB|=c=1．
∵|OA|＞b，
∴a²=b²+c²＜2c²，
∴e=$\frac{c}{a}$＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
設A（x，y），
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}-1}=1}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}={a}^{2}（2-{a}^{2}）}\\{{y}^{2}=1-2{a}^{2}+{a}^{4}}\end{array}\right.$．
AB的傾斜角α∈（0，$\frac{π}{3}$），
∴直線AB斜率為0＜k≤$\sqrt{3}$，
∴0＜$\frac{1-2{a}^{2}+{a}^{4}}{{a}^{2}（2-{a}^{2}）}$≤3，
∴1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$≤a²≤1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
即為$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$≤a≤$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{a}$∈[$\sqrt{3}$-1，$\sqrt{3}$+1]，
由于0＜e＜1，
∴離心率e的取值范圍為[$\sqrt{3}$-1，1）．
故答案為：[$\sqrt{3}$-1，1）．

點評 本題考查橢圓的方程和性質，主要考查橢圓方程的運用，同時考查圓的性質和直線斜率公式的運用，考查運算能力，屬于難題．