Question

6．已知頂點是坐標原點，對稱軸是x軸的拋物線經過點$A（{\frac{1}{2}，-\sqrt{2}}）$．
（1）求拋物線的標準方程；
（2）直線l過定點P（-2，1），斜率為k，當k為何值時，直線與拋物線有公共點？

Answer 1

分析 （1）設拋物線的方程為y²=2px，把A點的坐標$（{\frac{1}{2}，-\sqrt{2}}）$代入方程，求解即可．
（2）直線l的方程為y-1=k（x+2），即y=kx+2k+1，聯立方程組$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+2k+1}\\{{y^2}=4x}\end{array}}\right.$，消去x，化簡得ky²-4y+4（2k+1）=0，①當k=0，求解直線與拋物線有一個公共點$（{\frac{1}{4}，1}）$，②當k≠0，通過$\left\{{\begin{array}{l}{k≠0}\\{△={{（{-4}）}^2}-4k•4（{2k+1}）≥0}\end{array}}\right.$
求解k的范圍即可．

解答 解：（1）依題意設拋物線的方程為y²=2px，
把A點的坐標$（{\frac{1}{2}，-\sqrt{2}}）$代入方程得${（{-\sqrt{2}}）^2}=2p×\frac{1}{2}$，
解得p=2∴拋物線的標準方程y²=4x；
（2）直線l的方程為y-1=k（x+2），即y=kx+2k+1
解聯立方程組$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+2k+1}\\{{y^2}=4x}\end{array}}\right.$，消去x，
得${y^2}=\frac{4}{k}（{y-2k-1}）$，化簡得ky²-4y+4（2k+1）=0
①當k=0，代入ky²-4y+4（2k+1）=0得y=1代入y²=4x，得$x=\frac{1}{4}$
這時直線與拋物線有一個公共點$（{\frac{1}{4}，1}）$，
②當k≠0，依題意得$\left\{{\begin{array}{l}{k≠0}\\{△={{（{-4}）}^2}-4k•4（{2k+1}）≥0}\end{array}}\right.$
解得-1≤k＜0或$0＜k≤\frac{1}{2}$
綜合①②，當$-1≤k≤\frac{1}{2}$時直線與拋物線有公共點．

點評 本題考查直線與拋物線的位置關系的應用，拋物線方程的求法，考查計算能力．