Question

3．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，且AB=$\sqrt{2}$，∠ABC=60°，點A在平PBC上的射影為PB的中點O，PB⊥AC．
（1）求證：PC=PD；
（2）求平面BAP與平面PCD所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由已知可得△ABP、△BCP為等腰三角形，設BP=2x，求解直角三角形可得x值，得到AB⊥AP，取CD中點G，證明PG⊥CD可得答案；
（2）在平面PCD內過P作直線l∥CD，由（1）可得∠APG為平面BAP與平面PCD所成角，利用余弦定理得答案．

解答 （1）證明：如圖，
∵點A在平面PBC上的射影為PB的中點O，
∴BO=OP，且AO⊥PB，則AB=AP，
由AO⊥BP，BP⊥AC，可得BP⊥平面AOC，則BP⊥OC，得BC=PC，
設BP=2x，則AO=OC=$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}-{x}^{2}}$，再由AO²+OC²=AC²，得$2（2-{x}^{2}）=（\sqrt{2}）^{2}$，
解得：x=1，
∴BP=2，則AB²+AP²=BP²，∴AB⊥AP，
取CD中點G，連接AG，則AG⊥CD，又AB∥CD，AB⊥AP，
∴AP⊥CD，則CD⊥平面APG，得CD⊥PG，
∵G為CD中點，∴PC=PD；
（2）解：在平面PCD內過P作直線l∥CD，
∵AB∥CD，由平行公理可得AB∥l，則l為平面BAP與平面PCD的交線，
∵CD⊥平面APG，∴l⊥平面APG，則PA⊥l，PG⊥l，
即∠APG為平面BAP與平面PCD所成角，
在△APG中，由（1）得，AP=$\sqrt{2}$，PG=AG=$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}-（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴cos∠APG=$\frac{（\sqrt{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{6}}{2}）^{2}-（\frac{\sqrt{6}}{2}）^{2}}{2×\sqrt{2}×\frac{\sqrt{6}}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴平面BAP與平面PCD所成銳二面角的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查空間中的點、線、面的距離的計算，考查二面角的平面角的求法，考查了空間想象能力和思維能力，考查數學轉化思想方法，是中檔題．