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18.已知a,b,c分別是△ABC中∠A,∠B,∠C所對應的邊長,acosC+$\sqrt{3}$asinC-b-c=0.
(1)求A;
(2)若a=2,求△ABC周長的取值范圍.

分析 (1)由正弦定理及兩角和的正弦公式可得sinAcosC+$\sqrt{3}$sinAsinC=sinB+sinC=sin(A+C)+sinC=sinAcosC+sinCcosA+sinC,整理可求A.
(2)通過余弦定理以及基本不等式求出b+c的范圍,再利用三角形三邊的關系求出b+c的范圍,即可得解.

解答 解:(1)∵acosC+$\sqrt{3}$asinC-b-c=0,
∴sinAcosC+$\sqrt{3}$sinAsinC-sinB-sinC=0,
∴sinAcosC+$\sqrt{3}$sinAsinC=sinB+sinC=sin(A+C)+sinC=sinAcosC+sinCcosA+sinC,
∵sinC≠0,
∴$\sqrt{3}$sinA-cosA=1,
∴sin(A-30°)=$\frac{1}{2}$,
∴A-30°=30°,
∴A=60°;
(2)由余弦定理得,a2=b2+c2-2bccosA,
則4=b2+c2-bc,
∴(b+c)2-3bc=4,
即3bc=(b+c)2-4≤3[$\frac{1}{2}$(b+c)]2
化簡得,(b+c)2≤16(當且僅當b=c時取等號),
則b+c≤4,又b+c>a=2,
綜上得,b+c的取值范圍是(2,4],
可得△ABC周長的取值范圍為:(4,6].

點評 本題綜合考查了三角公式中的正弦定理、余弦定理、基本不等式的綜合應用,誘導公式與輔助角公式在三角函數化簡中的應用是求解的基礎,解題的關鍵是熟練掌握基本公式,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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(1)求數列{an}的通項公式;
(2)令${b_n}=\frac{a_n}{2^n}$,求數列{bn}的前n項和Tn

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(2)若AC⊥BD,求|AC|+|BD|的最小值.

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