Question

8．已知拋物線y²=4x的焦點為F，過焦點F的直線AC、BD分別與拋物線交于點A，C
和點B，D．
（1）若直線AC的斜率為1，點C在第一象限，求$\frac{{|{CF}|}}{{|{AF}|}}$的值；
（2）若AC⊥BD，求|AC|+|BD|的最小值．

Answer 1

分析 （1）過A，C分別作拋物線y²=4x的準線的垂線，延長CA交拋物線準線于點E，設CC₁=FC=m，AF=AA₁=n，
推出$CE=\sqrt{2}C{C_1}=\sqrt{2}m，AE=\sqrt{2}A{A_1}=\sqrt{2}n$，然后求解$\frac{m}{n}$，得到$\frac{{|{CF}|}}{{|{AF}|}}$的值；
（2）求出F（1，0），直線AC，BD斜率一定存在，設直線AC：y=k（x-1），k≠0，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯立直線與拋物線方程，利用弦長公式求解|AC|，|BD，推出|AC|+|BD|的表達式，利用基本不等式求解最小值即可．

解答 解：（1）過A，C分別作拋物線y²=4x的準線的垂線，延長CA交拋物線準線于點E，
根據定義有CC₁=FC，AF=AA₁，
設CC₁=FC=m，AF=AA₁=n，
因為直線AC的斜率為1，所以$CE=\sqrt{2}C{C_1}=\sqrt{2}m，AE=\sqrt{2}A{A_1}=\sqrt{2}n$，
所以在Rt△CC₁E中有$CE=\sqrt{2}m=m+n+\sqrt{2}n$，
所以$\frac{m}{n}=\frac{{\sqrt{2}+1}}{{\sqrt{2}-1}}=3+2\sqrt{2}$，
即$\frac{CF}{AF}=3+2\sqrt{2}$…．（5分）
（2）根據題意F（1，0），直線AC，BD斜率一定存在，
設直線AC：y=k（x-1），k≠0，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{{\begin{array}{l}{{y^2}=4x}\\{y=k（x-1）}\end{array}}\right.$，得k²x²-2（k²+2）x+k²=0，
△=4（k²+2）²-4k⁴=16（k²+1）＞0，
所以$|{AC}|={x_1}+{x_2}+p=\frac{{4（1+{k^2}）}}{k^2}$…．（8分）
又因為$BD：y=-\frac{1}{k}（x-1）$，同理|BD|=4（1+k²），
所以$|{AC}|+|{BD}|=\frac{{4（1+{k^2}）}}{k^2}+4（1+{k^2}）=4（{k^2}+\frac{1}{k^2}）+8≥16$，
當且僅當k=±1時取等號，
即|AC|+|BD|最小值為16…..（12分）

點評 本題考查直線與拋物線的位置關系的應用，基本不等式的應用，考查分析問題解決問題的能力．