Question

2．已知等邊△ABC的邊長為2$\sqrt{3}$，動點P、M滿足|$\overrightarrow{AP}$|=1，$\overrightarrow{PM}$=$\overrightarrow{MC}$，則|$\overrightarrow{BM}$|²的最小值是（　　）

• A． $\frac{25}{4}$
• B． $\frac{31}{4}$
• C． $\frac{37-6\sqrt{3}}{4}$
• D． $\frac{37-2\sqrt{33}}{4}$

Answer 1

分析 畫出圖形，建立坐標系，求出P的軌跡方程，M的軌跡方程，然后利用方程求解|$\overrightarrow{BM}$|²的最小值．

解答 解：由題△ABC為邊長為$2\sqrt{3}$的正三角形，如圖建立平面坐標系，

$A（0，3），B（-\sqrt{3}，0），C（\sqrt{3}，0）$，
由$|\overrightarrow{AP}|=1$得點P的軌跡方程為x²+（y-3）²①，
設M（x₀，y₀），由$\overrightarrow{PM}=\overrightarrow{MC}$得$P（2{x_0}-\sqrt{3}，2{y_0}）$，
代入①式得M的軌跡方程為${（x-\frac{{\sqrt{3}}}{2}）^2}+{（y-\frac{3}{2}）^2}=\frac{1}{4}$
記圓心為$N（\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{3}{2}）$，${|{BM}|_{min}}=|{BN}|-\frac{1}{2}=3-\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$，
故選：A．

點評 本題考查軌跡方程的求法，曲線與方程的關系，幾何意義的應用，考查計算能力．