Question

15．設f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{k}^{2}x+{a}^{2}-k（x≥0）}\\{{x}^{2}+（{a}^{2}+4a）x+（2-a）^{2}（x＜0）}\end{array}\right.$，其中a∈R，若對任意的非零實數x₁，存在唯一的非零實數x₂（x₁≠x₂），使得f（x₂）=f（x₁）成立，則k的取值范圍為（　　）

• A． [-20，-4]
• B． [-30，-9]
• C． [-4，0]
• D． [-9，-4]

Answer 1

分析 若對任意的非零實數x₁，存在唯一的非零實數x₂（x₁≠x₂），使得f（x₂）=f（x₁）成立，則二次函數h（x）=x²+（a²+4a）x+（2-a）²的對稱軸不能在y軸左側，且函數h（x）與g（x）=k²x+a²-k的圖象與y軸交于同一點，進而得到答案．

解答 解：令g（x）=k²x+a²-k，
h（x）=x²+（a²+4a）x+（2-a）²，
若對任意的非零實數x₁，存在唯一的非零實數x₂（x₁≠x₂），使得f（x₂）=f（x₁）成立，
則二次函數h（x）的對稱軸不能在y軸左側，且兩個函數圖象與y軸交于同一點，
即$\left\{\begin{array}{l}{a}^{2}+4a≤0\\{a}^{2}-k=（2-a）^{2}\end{array}\right.$，
解得：a∈[-4，0]，k∈[-20，-4]．
故選：A

點評 本題考查的知識點是二次函數的圖象和性質，分段函數的應用，轉化思想，難度中檔．