Question

【題目】已知函數(shù)，其中.

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）使不等式對任意，恒成立時最大的記為，求當(dāng)時，的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減（2）（3）

【解析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，通過討論的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；

（2）分離變量得不等式，由恒成立把，放縮程一個新不等式，再構(gòu)造一個新函數(shù)，討論出的范圍，即可得到結(jié)論.

（1）因的定義域為，，

當(dāng)時，，∴在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，，

∴在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；

（2）.

∵，，∴，

令，

由（1）在上遞增；

（1）當(dāng)，即時，，∴在上遞增；

∴.

（2）當(dāng)，即時，，∴在上遞減；

∴.

（3）當(dāng)時，在上遞增；

存在唯一實數(shù)，使得，

則當(dāng)時.當(dāng)時.

∴.

∴.此時.

令在上遞增，

，∴.

綜上所述，.