Question

【題目】已知橢圓：（）的一個焦點與拋物線：的焦點重合，且離心率為.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）過焦點的直線與拋物線交于，兩點，與橢圓交于，兩點，滿足，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根據題意求出，即可寫出橢圓的標準方程.

（2）當直線不存在斜率時，可求出四點，可驗證；當直線存在斜率時，設直線方程為，將直線分別與橢圓方程、拋物線方程聯立，利用弦長公式和焦點弦公式求出、，根據解方程即可.

解：（1）由已知橢圓的離心率，，得，則，

故橢圓的標準方程為

（2）當直線不存在斜率時，可求出，，，，

所以，，不滿足條件；

當直線存在斜率時，設直線方程為，代入橢圓方程得：

，恒成立，

設，，則

∴

將直線：，代入拋物線得，

設，，則，

又因為，

由得：，∴，

解得，

所以直線的方程為.