Question

17．在平面直角坐標系xOy中，P是橢圓$\frac{{y}^{2}}{4}$+$\frac{{x}^{2}}{3}$=1上的一個動點，點A（1，1），B（0，-1），則|PA|+|PB|的最大值為（　　）

• A． 5
• B． 4
• C． 3
• D． 2

Answer 1

分析 根據(jù)橢圓的方程，算出它的焦點坐標為B（0，-1）和B'（0，1）．因此連接PB'、AB'，根據(jù)橢圓的定義得|PA|+|PB|=|PA|+（2a-|PB'|）=4+（|PA|-|PB'|）．再由三角形兩邊之差小于第三邊，得到當且僅當點P在AB'延長線上時，|PA|+|PB|=4+|AB'|=5達到最大值，從而得到本題答案．

解答 解：∵橢圓$\frac{{y}^{2}}{4}$+$\frac{{x}^{2}}{3}$=1，
∴焦點坐標為B（0，-1）和B'（0，1），
連接PB'、AB'，根據(jù)橢圓的定義，
得|PB|+|PB'|=2a=4，可得|PB|=4-|PB'|，
因此|PA|+|PB|=|PA|+（4-|PB'|）=4+（|PA|-|PB'|）
∵|PA|-|PB'|≤|AB'|
∴|PA|+|PB|≤2a+|AB'|=4+1=5．
當且僅當點P在AB'延長線上時，等號成立．
綜上所述，可得|PA|+|PB|的最大值為5．
故選：A．

點評 本題給出橢圓內部一點A，求橢圓上動點P與A點和一個焦點B的距離和的最大值，著重考查了橢圓的定義、標準方程和簡單幾何性質等知識，屬于中檔題．