Question

9．若函數f（x）同時滿足以下三個性質：
①f（x）的最小正周期為π；      
②f（x）在（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）上是減函數；
③對任意的x∈R，都有f（x-$\frac{π}{4}$）+f（-x）=0，則f（x）的解析式可能是（　　）

• A． f（x）=|sin（2x-$\frac{π}{4}$）|
• B． f（x）=sin2x+cos2x
• C． f（x）=cos（2x+$\frac{3π}{4}$）
• D． f（x）=-tan（x+$\frac{π}{8}$）

Answer 1

分析 根據函數f（x）同時滿足三個性質，依次對個選項判斷即可．

解答 解：對于A：f（x）=|sin（2x-$\frac{π}{4}$）|，∵f（x）=sin（2x-$\frac{π}{4}$）的周期T=π，∴f（x）=|sin（2x-$\frac{π}{4}$）|其周期T=$\frac{π}{2}$，∴A選項不對．
對于B：f（x）=sin2x+cos2x=$\sqrt{2}$sin（2x$+\frac{π}{4}$），周期T=π；
令$\frac{π}{2}≤$2x$+\frac{π}{4}$$≤\frac{3π}{2}$，可得$\frac{π}{8}≤x≤\frac{5π}{8}$是減函數，
對任意的x∈R，都有f（x-$\frac{π}{4}$）+f（-x）=0，可知函數f（x）關于點（$-\frac{π}{8}$，0）對稱，當x=$-\frac{π}{8}$，代入f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x$+\frac{π}{4}$），可得y=0，∴B選項對．
對于C：f（x）=cos（2x+$\frac{3π}{4}$），周期T=π；
令0≤2x$+\frac{3π}{4}$≤π，可得$-\frac{3π}{8}≤x≤\frac{π}{8}$是減函數，∴C選項不對．
對于D：f（x）=-tan（x+$\frac{π}{8}$）周期T=π；在區間（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）上是減函數；
對任意的x∈R，都有f（x-$\frac{π}{4}$）+f（-x）=0，不成立．
故選B

點評 本題主要考查對三角函數的化簡能力和三角函數的圖象和性質的運用．