Question

18．已知不等式組$\left\{\begin{array}{l}0≤x≤π\\ y≤sinx+a\\ y≥0\end{array}\right.$所對應的平面區域面積為2+2π，則$\sqrt{3}x+2y+1$的最大值為（　�。�

• A． $\frac{{5\sqrt{3}π}}{6}+6$
• B． $\sqrt{3}π+7$
• C． 6
• D． 7

Answer 1

分析 由定積分求得a值，畫出可行域，利用導數求斜率求得最優解，把最優解的坐標代入目標函數得答案．

解答 解：∵不等式組$\left\{\begin{array}{l}0≤x≤π\\ y≤sinx+a\\ y≥0\end{array}\right.$所對應的平面區域面積為2+2π，
∴${∫}_{0}^{π}（sinx+a）dx=（-cosx+ax）{|}_{0}^{π}=2+2π$，
即2+aπ=2+2π，得a=2．
則不等式組$\left\{\begin{array}{l}0≤x≤π\\ y≤sinx+a\\ y≥0\end{array}\right.$所對應的平面區域面積如圖：

令z=$\sqrt{3}x+2y+1$，化為$y=-\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{z-1}{2}$，
設與直線為$y=-\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{z-1}{2}$平行的直線與曲線的切點為（x₀，sinx₀+2），
則由$cos{x}_{0}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$，得${x}_{0}=\frac{5π}{6}$，
∴A（$\frac{5π}{6}，\frac{5}{2}$），
∴z=$\sqrt{3}x+2y+1$的最大值為$\frac{5\sqrt{3}π}{6}+6$．
故選：A．

點評 本題考查簡單的線性規劃，考查微積分基本定理的應用，體現了數形結合的解題思想方法，是中檔題．