Question

16．如圖，在四棱錐P-ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，PA=PD，AB⊥PA，AD=2，AB=BC=1
（Ⅰ）求證：平面PAD⊥平面ABCD
（Ⅱ）若E為PD的中點，求證：CE∥平面PAB
（Ⅲ）若DC與平面PAB所成的角為30°，求四棱錐P-ABCD的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導出AB⊥AD，AB⊥PA，由此能證明平面PAD⊥平面ABCD．
（Ⅱ）取PA的中點F，連接BF，EF．推導出四邊形BCEG是平行四邊形，從而EC∥BF，由此能證明CE∥平面PAB．
（Ⅲ）過P作PO⊥AD于O，連接OC．建立空間直角坐標系O-xyz利用向量法能求出四棱錐P-ABCD的體積．

解答 （本小題滿分14分）
證明：（Ⅰ）因為∠BAD=90°，所以AB⊥AD，（1分）
又因為AB⊥PA，
所以AB⊥平面PAD．（3分）
所以平面PAD⊥平面ABCD．（4分）
解：（Ⅱ）取PA的中點F，連接BF，EF．（5分）
因為E為PD的中點，所以EF∥AD，$EF=\frac{1}{2}AD$，
又因為BC∥AD，$BC=\frac{1}{2}AD$，
所以BC∥EF，BC=EF．
所以四邊形BCEG是平行四邊形，EC∥BF．（7分）
又BF?平面PAB，CE?平面PAB，
所以CE∥平面PAB．（8分）
（Ⅲ）過P作PO⊥AD于O，連接OC．
因為PA=PD，所以O為AD中點，又因為平面PAD⊥平面ABCD，
所以PO⊥平面ABCD．
如圖建立空間直角坐標系O-xyz．（9分）
設PO=a．由題意得，A（0，1，0），B（1，1，0），C（1，0，0），D（0，-1，0），P（0，0，a）．
所以$\overrightarrow{AB}$=（1，0，0），$\overrightarrow{PA}$=（0，1，-a），$\overrightarrow{DC}$=（1，1，0）．
設平面PCD的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=x=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=y-az=0}\end{array}\right.$，
令z=1，則y=a．所以$\overrightarrow{n}$=（0，a，1）．（11分）
因為DC與平面PAB所成角為30°，
所以|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{DC}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{DC}|}$=$\frac{|\overrightarrow{a}|}{\sqrt{{a}^{2}+1}•\sqrt{2}}$=sin30°=$\frac{1}{2}$，
解得a=1．（13分）
所以四棱錐P-ABCD的體積${V_{P-ABCD}}=\frac{1}{3}×{S_{ABCD}}×PO=\frac{1}{3}×\frac{1+2}{2}×1×1=\frac{1}{2}$．（14分）

點評 本題考查面面垂直的證明，考查線面平行的證明，考查四棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．