Question

11．已知函數$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}+a{x^2}+（2a-1）x（a∈R）$．
（Ⅰ）若f（x）在點（0，0）處的切線方程為y=x，求a的值；
（Ⅱ）求f（x）的單調區間；
（Ⅲ）當a=-1時，設f（x）在x₁，x₂（x₁＜x₂）處取到極值，記M（x₁，f（x₁））．A（0，f（0）），B（1，f（1）），C（2，f（2）），判斷直線AM、BM、CM與函數f（x）的圖象各有幾個交點（只需寫出結論）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數的導數，根據切線方程求出a的值即可；
（Ⅱ）通過討論a的范圍，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間即可；
（Ⅲ）a=-1時，求出直線和f（x）的交點個數，寫出結論即可．

解答 解：（Ⅰ）由題意f'（x）=x²+2ax+2a-1，…（1分）
因為f（x）在（0，0）點處切線方程為y=x，
所以f'（0）=2a-1=1，解得a=1，
經檢驗a=1時滿足條件． …（3分）
（Ⅱ）由（I）f'（x）=x²+2ax+2a-1=（x+1）（x+2a-1）
令f'（x）=0，則x=-1或x=1-2a，…（4分）
①當a＞1時，1-2a＜-1，
令f'（x）＞0，解得x＜1-2a或x＞-1；
令f'（x）＜0，解得1-2a＜x＜-1．
所以函數f（x）的單調增區間為（-∞，1-2a）和（-1，+∞），
單調減區間為（1-2a，-1）． …（6分）
②當a=1時，1-2a=-1，此時，f'（x）≥0恒成立，
且僅在x=-1處f'（x）=0，
故函數f（x）的單調增區間為（-∞，+∞）．…（7分）
③當a＜1時，1-2a＞-1，
同理可得函數f（x）的單調增區間為（-∞，-1）和（1-2a，+∞），
單調減區間為（-1，1-2a）．…（9分）
（Ⅲ）直線AM與f（x）的圖象的交點個數是3個；…（10分）
直線BM與f（x）的圖象的交點個數是3個；…（11分）
直線CM與f（x）的圖象的交點個數是2個．…（13分）

點評 本題考查了切線方程問題，考查函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，是一道綜合題．