Question

12．已知等差數列{a_n}滿足a₁+a₂=4，a₇-a₄=6，則數列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n項和S_n=$\frac{n}{2n+1}$．

Answer 1

分析 由等差數列的性質，求出數列的首項與公差，得到通項公式，然后利用裂項求和即可求解．

解答 解：a₁+a₂=4，a₇-a₄=6，可知，2a₁+d=4.3d=6，解得d=2，a₁=1
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n-1
∵b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$[$\frac{1}{2n-1}$$-\frac{1}{2n+1}$]，
∴S_n=$\frac{1}{2}$[$1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+$$\frac{1}{2n-1}$$-\frac{1}{2n+1}$]=$\frac{n}{2n+1}$．
故答案為：$\frac{n}{2n+1}$．

點評 本題主要考查了等差數列的 性質及通項公式的應用，及數列的裂項求和方法的應用，屬于數列知識的綜合應用．