Question

17．已知函數f（x）=ax²-lnx，a∈R．
（Ⅰ）當a=1時，求函數f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）是否存在實數a，使函數f（x）在區間（0，e]上的最小值為$\frac{3}{2}$，若存在，求出a的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當a=1時，f（x）=x²-lnx，${f}^{'}（x）=2x-\frac{1}{x}$，由此利用導數的幾何意義能求出函數f（x）在點（1，f（1））處的切線方程．
（Ⅱ）f（x）=ax²-lnx，a∈R的定義域為（0，+∞），${f}^{'}（x）=2ax-\frac{1}{x}$=$\frac{2a{x}^{2}-1}{x}$，根據a≤0，a＞$\frac{1}{2{e}^{2}}$，0＜a≤$\frac{1}{2{e}^{2}}$分類討論，能求出存在a=$\frac{{e}^{2}}{2}$，使函數f（x）在區間（0，e]上的最小值為$\frac{3}{2}$．

解答 解：（Ⅰ）當a=1時，f（x）=x²-lnx，f（1）=1，
${f}^{'}（x）=2x-\frac{1}{x}$，f′（1）=1，
∴函數f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為x-y=0．
（Ⅱ）∵f（x）=ax²-lnx，a∈R，∴此函數的定義域為（0，+∞），
${f}^{'}（x）=2ax-\frac{1}{x}$=$\frac{2a{x}^{2}-1}{x}$，
當a≤0時，f′（x）＜0恒成立，∴f（x）在（0，e]上是減函數，
∴當x=e時，f（x）取得最小值f（e）=ae²-1=$\frac{3}{2}$，
解得a=$\frac{5}{2{e}^{2}}$＞0與a≤0矛盾；
當a＞0時，令f′（x）=0，得${x}_{1}=-\frac{1}{\sqrt{2}a}$，${x}_{2}=\frac{1}{\sqrt{2}a}$，
在（0，$\frac{1}{\sqrt{2}}$）上，f′（x）＜0，在（$\frac{1}{\sqrt{2}a}$，+∞）上，f′（x）＞0，
∴當$\frac{1}{\sqrt{2}a}$＜e，即a＞$\frac{1}{2{e}^{2}}$時，函數f（x）在（0，$\frac{1}{\sqrt{2a}}$）上是減函數，在（$\frac{1}{\sqrt{2a}}$，e）上是增函數，
∴當x=$\frac{1}{\sqrt{2a}}$時，f（x）取得最小值$\frac{1}{2}-ln\frac{1}{\sqrt{2a}}$，
令$\frac{1}{2}-ln\frac{1}{\sqrt{2a}}$=$\frac{3}{2}$，得a=$\frac{{e}^{2}}{2}$，符合題意．
當$\frac{1}{\sqrt{2a}}$≥e，即0＜a≤$\frac{1}{2{e}^{2}}$時，函數f（x）在（0，e]是減函數，
∴當x=e時，f（x）取得最小值，即ae²-1=$\frac{3}{2}$，
解得a=$\frac{5}{2{e}^{2}}$與0＜a≤$\frac{1}{2{e}^{2}}$矛盾．
綜上，存在a=$\frac{{e}^{2}}{2}$，使函數f（x）在區間（0，e]上的最小值為$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查切線方程的求法，考查滿足條件的實數值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意導數性質的合理運用．