Question

如圖所示，已知函數 y=log₂4x圖象上的兩點 A、B 和函數 y=log₂x上的點 C，線段 AC平行于 y 軸，三角形 ABC 為正三角形時，點B的坐標為 （p，q），則 p²×2^q的值為

 

．

Answer 1

考點：對數函數的圖像與性質

專題：函數的性質及應用

分析：根據題意，設出A、B、C的坐標，由線段AC∥y軸，△ABC是等邊三角形，得出AB、AC與BC的關系，求出p、q的值，計算出結果．

解答： 解：根據題意，設A（x₀，2+log₂x₀），B（p，q），C（x₀，log₂x₀），
∵線段AC∥y軸，△ABC是等邊三角形，
∴AC=2，2+log₂p=q，
∴p=2^q-2，∴4p=2^q；
又x₀-p=

3

，∴p=x₀-

3

，
∴x₀=p+

3

；
又2+log₂x₀-q=1，
∴log₂x₀=q-1，x₀=2^q-1=

2q

2

；
∴p+

3

=

2q

2

，2p+2

3

=2^q=4p，
∴p=

3

，2^q=4

3

；
∴p²•2^q=3×4

3

=12

3

．
故答案為：12

3

．

點評：本題考查了指數函數與對數函數的圖象與性質的應用問題，也考查了指數，對數的運算問題，是較難的題目．