Question

19．已知sinα+cosα=-$\frac{1}{2}$，則tan²α+cot²α=$\frac{46}{9}$．

Answer 1

分析 采用兩邊平方，即（sinα+cosα）²=$\frac{1}{4}$，根據同角三角函數關系式和萬能公式化簡，得$\frac{tanα}{ta{n}^{2}α+1}$=$-\frac{3}{8}$，即tanα+$\frac{1}{tanα}$=$-\frac{8}{3}$則tan²α+cot²α=$（tanα+\frac{1}{tanα}）^{2}-2$即得答案．

解答 解：由sinα+cosα=-$\frac{1}{2}$，
可得sin²α+cos²α+2sinαcosα=$\frac{1}{4}$．即sinαcosα=$\frac{sinαcosα}{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α}$=$-\frac{3}{8}$．
同時除以cos²α，
可得：$\frac{tanα}{ta{n}^{2}α+1}$=$-\frac{3}{8}$，
得：tanα+$\frac{1}{tanα}$=$-\frac{8}{3}$
則tan²α+cot²α=$（tanα+\frac{1}{tanα}）^{2}-2$=$\frac{64}{9}-2=\frac{46}{9}$．
故答案為：$\frac{46}{9}$．

點評 本題考查了同角三角函數關系式和萬能公式化簡能力和計算能力，屬于中檔題．