【題目】若整數
、
既不互素，又不存在整除關系，則稱、為一個“聯盟”數對.設
為集
的
元子集，且中任兩數均為聯盟數對.求的最大值
【答案】504
【解析】
稱這種子集
為“聯盟子集”.
首先構造一個聯盟子集，其中具504有個元素.為此，取
.
接下來證明，504就是
的最大值。
設
為元素個數最多的一個聯盟子集.
若
為集合中的最小數，顯然，
.若
，則
，即
，
顯然，
，（這是因為
與有整除關系）.
考慮在集合中用，替代，其他元素不變，成為子集
，則仍為聯盟子集，這是因為對于集合中異于的任一元素
，由與，不互素，故與也不互素；再說明與沒有整除關系，這是因為
，所以，
.
又若
，設
，(顯然
，否則，、有整除關系），則
.于是，
，這與的最小性矛盾.
故仍為聯盟子集，且仍為元集.
重復以上作法，直至子集中的元素均大于1007為止。
于是，得到元聯盟子集
，
即
.
因為任兩個相鄰整數必互素，所以，在這1007個連續正整數中至多能取到504個互不相鄰的數，即
.
又據前面所述的構造，知的最大值即為504.
新黃岡兵法密卷系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某中學為了解中學生的課外閱讀時間，決定在該中學的1200名男生和800名女生中按分層抽樣的方法抽取20名學生，對他們的課外閱讀時間進行問卷調查。現在按課外閱讀時間的情況將學生分成三類：A類（不參加課外閱讀），B類（參加課外閱讀，但平均每周參加課外閱讀的時間不超過3小時），C類（參加課外閱讀，且平均每周參加課外閱讀的時間超過3小時）。調查結果如下表：
A類 | B類 | C類 | |
男生 | x | 5 | 3 |
女生 | y | 3 | 3 |
（I）求出表中x，y的值；
（II）根據表中的統計數據，完成下面的列聯表，并判斷是否有90%的把握認為“參加課外閱讀與否”與性別有關；
男生 | 女生 | 總計 | |
不參加課外閱讀 | |||
參加課外閱讀 | |||
總計 |
（III）從抽出的女生中再隨機抽取3人進一步了解情況，記X為抽取的這3名女生中A類人數和C類人數差的絕對值，求X的數學期望。
附：K2=
)
P（K2≥k0） | 0.10 | 0.01 | |
k0 | 2.706 | 3.841 | 6.635 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】折紙是一項藝術，可以折出很多數學圖形．將一張圓形紙片放在平面直角坐標系中，圓心B（－1，0），半徑為4，圓內一點A為拋物線
的焦點．若每次將紙片折起一角，使折起部分的圓弧的一點
始終與點A重合，將紙展平，得到一條折痕，設折痕與線段B的交點為P．
（Ⅰ）將紙片展平后，求點P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）已知過點A的直線l與軌跡C交于R，S兩點，當l無論如何變動，在AB所在直線上存在一點T，使得
所在直線一定經過原點，求點T的坐標．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】（本小題滿分12分）在一個選拔項目中，每個選手都需要進行4輪考核，每輪設有一個問題，能正確回答者進入下一輪考核，否則被淘汰。已知某選手能正確回答第一、二、三、四輪問題的概率分別為
、
、
、
，且各輪問題能否正確回答互不影響。
（Ⅰ）求該選手進入第三輪才被淘汰的概率；
（Ⅱ）求該選手至多進入第三輪考核的概率；
（Ⅲ）該選手在選拔過程中回答過的問題個數記為
，求隨機變量的分布列和期望。
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某港口有一個泊位，現統計了某100艘輪船在該泊位停靠的時間（單位：小時），如果停靠時間不足半小時按半小時計時，超過半小時不足1小時按1小時計時，以此類推，統計結果如下表：
（1）設該月100艘輪船在該泊位的平均停靠時間為
小時，求的值；
（2）假定某天只有甲、乙兩艘輪船需要在該泊位停靠小時，且在一晝夜的時間段中隨機到達，求這兩艘輪船至少有一艘在停靠該泊位時必須等待的概率.
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