Question

15．關于方程（m-1）x²+（3-m）y²=（m-1）（3-m），m∈R所表示的曲線C的性狀，下列說法正確的是（　　）

• A． 對于?m∈（1，3），曲線C為一個橢圓
• B． ?m∈（-∞，1）∪（3，+∞）使曲線C不是雙曲線
• C． 對于?m∈R，曲線C一定不是直線
• D． ?m∈（1，3）使曲線C不是橢圓

Answer 1

分析 對于所給的方程，當m=1、m=3時，易得方程表示的圖形；當m≠1，且 m≠3時，方程即$\frac{{x}^{2}}{m-3}+\frac{{y}^{2}}{m-1}$=1，再分3-m=m-1、（3-m）（m-1）大于零、小于零三種情況，分別求得方程表示的曲線形狀，綜合可得結論．

解答 解：對于方程（m-1）x²+（3-m）y²=（m-1）（3-m），①當m=1時，方程即2y²=0，即 y=0，表示x軸；
②當m=3時，方程即2x²=0，即 x=0，表示y軸；
③當m≠1，且 m≠3時，方程即$\frac{{x}^{2}}{m-3}+\frac{{y}^{2}}{m-1}$=1，
若3-m=m-1，即m=2時，方程即為圓：x²+y²=1，表示一個單位圓； 
若（3-m）（m-1）＜0，即m＞3或者m＜1時，方程表示雙曲線；
若（3-m）（m-1）＞0且3-m≠m-1，即1＜m＜3，且m≠2時，方程表示橢圓．
綜合可得：當m=1，方程表示x軸，當m=3；方程表示y軸；當m=2時，方程表示圓；當1＜m＜3且不等于2時，方程表示橢圓；
當m＞3或者m＜1時，方程表示雙曲線．
故選D．

點評 本題主要考查二元二次方程表示圓的條件，體現了分類討論的數學思想，屬于基礎題．