Question

3．我國的煙花名目繁多，花色品種繁雜．其中“菊花”煙花是最壯觀的煙花之一，制造時一般是期望在它達到最高點時爆裂，通過研究，發(fā)現該型煙花爆裂時距地面的高度h（單位：米）與時間t（單位：秒）存在函數關系，并得到相關數據如下表：

時間t	$\frac{1}{2}$	2	4
高度h	10	25	17

（ I）根據上表數據，從下列函數中，選取一個函數描述該型煙花爆裂時距地面的高度h與時間t的變化關系：y₁=kt+b，y₂=at²+bt+c，y₃=ab^t，確定此函數解析式，并簡單說明理由；
（ II）利用你選取的函數，判斷煙花爆裂的最佳時刻，并求出此時煙花距地面的高度．

Answer 1

分析 （I）由表中數據分析可知，煙花距地面的高度隨時間的變化呈先上升再下降的趨勢，則在給定的三類函數中，只有y₂可能滿足，設h（t）=at²+bt+c，利用待定系數法將表格所提供的三組數據代入，列方程組求出函數解析式；
（II）由二次函數的圖象與性質，求出即可．

解答 解：（I）由表中數據分析可知，煙花距地面的高度隨時間的變化呈先上升再下降的趨勢，則在給定的三類函數中，只有y₂可能滿足，故選擇取該函數．…（3分）
設h（t）=at²+bt+c，有$\left\{{\begin{array}{l}{10=\frac{1}{4}a+\frac{1}{2}b+c}\\{25=4a+2b+c}\\{17=16a+4b+c}\end{array}}\right.\;，⇒\left\{{\begin{array}{l}{a=-4}\\{b=20}\\{c=1}\end{array}}\right.$．…（6分）
所以h（t）=-4t²+20t+1（t≥0），…（8分）
（Ⅱ）$h（t）=-4{t^2}+20t+1=-4（{t^2}-5t）+1=-4{（t-\frac{5}{2}）^2}+26$，…（10分）
∴當煙花沖出后2.5s是爆裂的最佳時刻，此時距地面的高度為26米．…（12分）

點評 本題考查了二次函數模型的應用問題，也考查了利用二次函數的圖象與性質求函數最值的問題，確定函數的模型是解題關鍵．