Question

17．已知0＜β＜$\frac{π}{4}$＜α＜$\frac{3π}{4}$，cos（$\frac{π}{4}$-α）=$\frac{3}{5}$，sin（$\frac{3π}{4}$+β）=$\frac{5}{13}$，求sin（α+β）的值．

Answer 1

分析 根據同角的三角函數的關系和兩角差的正弦公式及誘導公式即可求出

解答 解：∵0＜β＜$\frac{π}{4}$＜α＜$\frac{3π}{4}$，（$\frac{π}{4}$-α
∴$\frac{3π}{4}$＜$\frac{3π}{4}$+β＜π，-$\frac{π}{2}$＜$\frac{π}{4}$-α＜0，
∵cos（$\frac{π}{4}$-α）=$\frac{3}{5}$，sin（$\frac{3π}{4}$+β）=$\frac{5}{13}$，
∴sin（$\frac{π}{4}$-α）=-$\frac{4}{5}$，cos（$\frac{3π}{4}$+β）=-$\frac{12}{13}$，
∴sin（α+β）=-sin[（$\frac{3π}{4}$+β）-（$\frac{π}{4}$-α）]
=-[sin（$\frac{3π}{4}$+β）cos（$\frac{π}{4}$-α）-cos（$\frac{3π}{4}$+β）sin（$\frac{π}{4}$-α）]=-（$\frac{5}{13}$×$\frac{3}{5}$-$\frac{12}{13}$×$\frac{4}{5}$）=$\frac{33}{65}$．

點評 本題考查了同角的三角函數的關系和兩角差的正弦公式、誘導公式，屬于基礎題．