Question

已知數列{a_n}中，a₁=1，a₂=3，a_n=3a_n-1-2a_n-2（n≥3）．
（1）求a₃的值；
（2）證明：數列{a_n-a_n-1}（n≥2）是等比數列；
（3）求數列{a_n}的通項公式．

Answer 1

考點：數列遞推式,等比關系的確定

專題：綜合題,等差數列與等比數列

分析：（1）利用數列{a_n}中，a₁=1，a₂=3，a_n=3a_n-1-2a_n-2，）求a₃的值；
（2）利用等比數列的定義，構造a_n-a_n-1=2（a_n-1-a_n-2）行證明．
（3）利用（2）可先求a_n-a_n-1=2^n-1，利用疊加法可得a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁，從而可求a_n．

解答： （1）解：∵數列{a_n}中，a₁=1，a₂=3，a_n=3a_n-1-2a_n-2，
∴a₃=3×3-2×1=7；
（2）證明：∵a_n=3a_n-1-2a_n-2，∴a_n-a_n-1=2（a_n-1-a_n-2）
∵a₁=1，a₂=3，∴a₂-a₁=2≠0
∴{a_n-a_n-1}是以2為首項，2為公比的等比數列．  
（3）解：由（2）得a_n-a_n-1=2^n-1，∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁，…（7分）
=2^n-1+2^n-2+…+2+1=2ⁿ-1．

點評：本小題主要考查數列、不等式等基本知識的綜合運用，考查化歸的數學思想方法在解題中的運用，考查綜合解題能力．