Question

1．已知函數f（x）=e^x（ax+b）-x²-4x，曲線y=f（x）在x=-2和x=-ln2處有極值．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）討論f（x）的單調性，并求f（x）的極大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數的導數，根據y=f（x）在x=-2和x=-ln2處有極值，得到關于a，b的方程組，解出即可；
（Ⅱ）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間，從而求出函數的極大值即可．

解答 解：（Ⅰ）f'（x）=e^x（ax+b+a）-2x-4
因為曲線y=f（x）在x=-2和x=-ln2處有極值，
所以$\left\{\begin{array}{l}f'（{-2}）=0\\ f'（{-ln2}）=0\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{e^{-2}}（{-2a+b+a}）=0\\{e^{-ln2}}（{-aln2+b+a}）-2（-ln2）-4=0\end{array}\right.$，
解得a=b=4，
經檢驗a=b=4符合題意，
所以a=b=4；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f（x）=4e^x（x+1）-x²-4x，
f′（x）=4（x+2）（e^x-$\frac{1}{2}$），
令f′（x）＞0，解得：x＞-ln2或x＜-2，
令f′（x）＜0，解得：-2＜x＜-ln2，
故f（x）在（-∞，-2）遞增，在（-2，-ln2）遞減，在（-ln2，+∞）遞增，
故x=-2時，函數f（x）取極大值，極大值是f（-2）=4（1-e^-2）．

點評 本題考查了函數的單調性、極值問題，考查導數的應用，是一道中檔題．