Question

5．若函數f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{1}{x}，}&{x＜a}\\{|x+1|，}&{x≥a}\end{array}}$在區間（-∞，a）上單調遞減，在（a，+∞）上單調遞增，則實數a的取值范圍是[-1，0]．

Answer 1

分析 反比例函數y=$\frac{1}{x}$的在區間（-∞，0）上單調遞減，在（0，+∞）上單調遞減，要使x＜a在區間（-∞，a）上單調遞減，那么：a≤0．在（a，+∞）上單調遞增，則函數y=|x+1|的單調增區間必須在（a，+∞）內，則a+1≥0，即可求實數a的取值范圍．

解答 解：函數f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{1}{x}，}&{x＜a}\\{|x+1|，}&{x≥a}\end{array}}$，根據反比例函數的性質可知，在區間（-∞，0）上單調遞減，要使函數f（x）在區間（-∞，a）上單調遞減，則：a≤0．
那么：函數f（x）=|x+1|在（a，+∞）上單調遞增，那么：a+1≥0，解得：a≥-1．
故得實數a的取值范圍是[-1，0]．
故答案為：[-1，0]．

點評 本題考查了分段函數的單調性問題，要利用基本函數入手，抓住基本函數的單調性從而求解．屬于中檔題．