Question

11．已知向量$\overrightarrow m=（{\sqrt{3}sin2x+2，cosx}），\overrightarrow n=（{1，2cosx}）$，設函數f（x）=$\overrightarrow m•\overrightarrow n$．
（1）求f（x）在$[{0，\frac{π}{4}}]$上的最值；
（2）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，若f（A）=4，b=1，△ABC的面積為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，求a的值．

Answer 1

分析 （1）由已知結合數量積的坐標表示求得f（x），得到f（x）在$[{0，\frac{π}{4}}]$上的單調性，從而求得最值；
（2）由f（A）=4求得角A，然后結合正弦定理和余弦定理求得a值．

解答 解：（1）∵$f（x）=\overrightarrow m•\overrightarrow n=\sqrt{3}sin2x+2+2{cos^2}x$
=$\sqrt{3}sin2x+cos2x+3=2sin（{2x+\frac{π}{6}}）+3$，
∴f（x）在$[{0，\frac{π}{6}}]$上單調遞增，在$[{\frac{π}{6}，\frac{π}{4}}]$上單調遞減，
又$f（0）=4，f（{\frac{π}{6}}）=5，f（{\frac{π}{4}}）=3+\sqrt{3}$，
∴f（x）_min=4，f（x）_max=5；
（2）∵$f（A）=2sin（{2A+\frac{π}{6}}）+3=4$，
∴$sin（{2A+\frac{π}{6}}）=\frac{1}{2}$，
∵$2A+\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}，\frac{13π}{6}$），∴$2A+\frac{π}{6}=\frac{5π}{6}$，則A=$\frac{π}{3}$，
∵${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴c=2，則a²=b²+c²-2bccosA=3，
∴a=$\sqrt{3}$．

點評 本題考查平面向量的數量積運算，考查了三角函數的化簡求值，訓練了正弦定理和余弦定理在求解三角形中的應用，是中檔題．