Question

4．已知曲線C：$\frac{x^2}{m}$+$\frac{y^2}{2-m}$=1（m≠0，m≠2），說明曲線C的形狀，若是橢圓或雙曲線，請說明焦點在哪個坐標軸上．

Answer 1

分析 由雙曲線及橢圓的標準方程，分類討論，即可求得曲線C的形狀．

解答 解：曲線C：$\frac{x^2}{m}$+$\frac{y^2}{2-m}$=1（m≠0，m≠2），
若$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{2-m＞0}\\{m＞2-m}\end{array}\right.$，解得：1＜m＜2，
即當1＜m＜2，曲線C：$\frac{x^2}{m}$+$\frac{y^2}{2-m}$=1（m≠0，m≠2），表示焦點在x軸上的橢圓，
若$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{2-m＞0}\\{m＜2-m}\end{array}\right.$，解得：0＜m＜1，
即0＜m＜1，曲線C：$\frac{x^2}{m}$+$\frac{y^2}{2-m}$=1（m≠0，m≠2），表示焦點在y軸上的橢圓，
若$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{2-m＜0}\end{array}\right.$，解得：m＞2，
當m＞2，曲線C：$\frac{x^2}{m}$+$\frac{y^2}{2-m}$=1（m≠0，m≠2），表示焦點在y軸上的雙曲線，
若$\left\{\begin{array}{l}{m＜0}\\{2-m＞0}\end{array}\right.$，解得：m＜0，
當m＜0，曲線C：$\frac{x^2}{m}$+$\frac{y^2}{2-m}$=1（m≠0，m≠2），表示焦點在x軸上的雙曲線．

點評 本題考查橢圓及雙曲線的標準方程及焦點位置，考查學生對橢圓及雙曲線標準方程的掌握，考查分類討論思想，屬于中檔題．