Question

7．設g（x）為定義在R上的奇函數，且g（x）不恒為0，若$f（x）=（\frac{1}{{{a^x}-1}}-\frac{1}{b}）g（x）$（a＞0且a≠1）為偶函數，則常數b=（　　）

• A． -2
• B． 2
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $-\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 若$f（x）=（\frac{1}{{{a^x}-1}}-\frac{1}{b}）g（x）$（a＞0且a≠1）為偶函數，則函數h（x）=$\frac{1}{{a}^{x}-1}-\frac{1}{b}$也為奇函數，即h（-x）=-h（x）恒成立，進而得到b值．

解答 解：∵g（x）為定義在R上的奇函數，且g（x）不恒為0，
若$f（x）=（\frac{1}{{{a^x}-1}}-\frac{1}{b}）g（x）$（a＞0且a≠1）為偶函數，
則函數h（x）=$\frac{1}{{a}^{x}-1}-\frac{1}{b}$也為奇函數，
故h（-x）=-h（x）恒成立，
即$\frac{1}{{a}^{-x}-1}-\frac{1}{b}$+$\frac{1}{{a}^{x}-1}-\frac{1}{b}$=$\frac{1-{a}^{x}}{{a}^{x}-1}-\frac{2}{b}$=$-1-\frac{2}{b}$=0，
解得：b=-2，
故選：A

點評 本題考查的知識點是函數奇偶性的性質，正確理解并熟練掌握函數奇偶性的性質是解答的關鍵．