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7.設g(x)為定義在R上的奇函數,且g(x)不恒為0,若$f(x)=(\frac{1}{{{a^x}-1}}-\frac{1}{b})g(x)$(a>0且a≠1)為偶函數,則常數b=(  )
A.-2B.2C.$\frac{1}{2}$D.$-\frac{1}{2}$

分析 若$f(x)=(\frac{1}{{{a^x}-1}}-\frac{1}{b})g(x)$(a>0且a≠1)為偶函數,則函數h(x)=$\frac{1}{{a}^{x}-1}-\frac{1}{b}$也為奇函數,即h(-x)=-h(x)恒成立,進而得到b值.

解答 解:∵g(x)為定義在R上的奇函數,且g(x)不恒為0,
若$f(x)=(\frac{1}{{{a^x}-1}}-\frac{1}{b})g(x)$(a>0且a≠1)為偶函數,
則函數h(x)=$\frac{1}{{a}^{x}-1}-\frac{1}{b}$也為奇函數,
故h(-x)=-h(x)恒成立,
即$\frac{1}{{a}^{-x}-1}-\frac{1}{b}$+$\frac{1}{{a}^{x}-1}-\frac{1}{b}$=$\frac{1-{a}^{x}}{{a}^{x}-1}-\frac{2}{b}$=$-1-\frac{2}{b}$=0,
解得:b=-2,
故選:A

點評 本題考查的知識點是函數奇偶性的性質,正確理解并熟練掌握函數奇偶性的性質是解答的關鍵.

練習冊系列答案
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