Question

1．已知拋物線C₁，：y²=2px上一點M（3，y₀）到其焦點F的距離為4，橢圓C₂：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且過拋物線的焦點F．
（1）求拋物線C₁和橢圓C₂的標準方程；
（2）過點F的直線l₁交拋物線C₁交于A，B兩不同點，交y軸于點N，已知$\overrightarrow{NA}$=$λ\overrightarrow{AF}$，$\overrightarrow{NB}$=μ$\overrightarrow{BF}$，求證：λ+μ為定值．

Answer 1

分析 （1）利用拋物線C₁：y²=2px上一點M（3，y₀）到其焦點F的距離為4；求出p，即可得到拋物線方程，通過C₂：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且過拋物線的焦點F（1，0）求出a，b，即可得到橢圓的方程．
（2）直線l₁的斜率必存在，設為k，設直線l與橢圓C₂交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），求出直線l的方程為y=k（x-1），N（0，-k），聯立直線與橢圓的方程，利用韋達定理以及判別式，通過向量關系式即可求出λ+μ為定值．

解答 解：（1）拋物線C₁：y²=2px上一點M（3，y₀）到其焦點F的距離為4；
拋物線的準線為x=-$\frac{p}{2}$
拋物線上點M（3，y₀）到其焦點F的距離|MF|等于到準線的距離d
所以d=3+$\frac{p}{2}$=4，所以p=2
拋物線C₁的方程為y²=4x
C₂：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且過拋物線的焦點F（1，0）
所以b=1，${e}^{2}=\frac{1}{2}=\frac{{a}^{2}-1}{{a}^{2}}$，解得a²=2
所以橢圓的標準方程為$\frac{{y}^{2}}{2}+{x}^{2}$=1；
（2）證明：直線l₁的斜率必存在，設為k，設直線l與橢圓C₂交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則直線l的方程為y=k（x-1），N（0，-k）
聯立方程組，得到k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
△=16k²+16＞0，所以x₁+x₂=$\frac{2{k}^{2}+4}{{k}^{2}}$，x₁x₂=1（*）      
由 $\overrightarrow{NA}$=$λ\overrightarrow{AF}$，$\overrightarrow{NB}$=μ$\overrightarrow{BF}$，得：λ（1-x₁）=x₁，λ（1-x₂）=x₂得：λ=$\frac{{x}_{1}}{1-{x}_{1}}$，μ=$\frac{{x}_{2}}{1-{x}_{2}}$，
所以λ+μ=$\frac{{x}_{1}}{1-{x}_{1}}$+$\frac{{x}_{2}}{1-{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}-2{x}_{1}{x}_{2}}{1-（{x}_{1}+{x}_{2}）+{x}_{1}{x}_{2}}$，
將（*）代入上式，得λ+μ=-1．

點評 本題考查的知識點是拋物線的簡單性質，直線與圓錐曲線的位置關系，存在性問題，難度中檔．