Question

2．底面半徑為4，高為$8\sqrt{2}$的圓錐有一個內接的正四棱柱（底面是正方形，側棱與底面垂直的四棱柱）．
（1）設正四棱柱的底面邊長為x，試將棱柱的高h表示成x的函數；
（2）當x取何值時，此正四棱柱的表面積最大，并求出最大值．

Answer 1

分析 （1）根據比例關系式求出h關于x的解析式即可；（2）設該正四棱柱的表面積為y，得到關系式y=2x²+4xh，根據二次函數的性質求出y的最大值即可．

解答 解：（1）根據相似性可得：$\frac{{\frac{{\sqrt{2}}}{2}x}}{4}=\frac{{8\sqrt{2}-h}}{{8\sqrt{2}}}$…（3分）
解得：$h=8\sqrt{2}-2x（0＜x＜4\sqrt{2}）$…（6分）（沒范圍扣1分）
（2）設該正四棱柱的表面積為y．則有關系式y=2x²+4xh
=$2{x^2}+4x（8\sqrt{2}-2x）$
=$-6{x^2}+32\sqrt{2}x$
=$-6{（x-\frac{8}{3}\sqrt{2}）^2}+\frac{256}{3}$…（9分）
因為$0＜x＜4\sqrt{2}$，所以當$x=\frac{8}{3}\sqrt{2}$時，${y_{max}}=\frac{256}{3}$…（11分）
故當正四棱柱的底面邊長為$\frac{8}{3}\sqrt{2}$時，此正四棱柱的表面積最大值為$\frac{256}{3}$…（12分）

點評 本題考查了數形結合思想，考查二次函數的性質以及求函數的最值問題，是一道中檔題．