Question

11．已知函數f（x）=$\frac{mx}{lnx}$，曲線y=f（x）在點（e²，f（e²））處的切線與直線2x+y=0垂直（其中e為自然對數的底數）．
（1）求f（x）的解析式及單調遞減區間；
（2）若存在x₀∈[e，+∞），使函數g（x）=aelnx+$\frac{1}{2}{x^2}-\frac{a+e}{2}$•lnx•f（x）≤a成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意有：$f′（{e}^{2}）=\frac{m}{4}$=$\frac{1}{2}$，可得f（x）的解析式；由f′（x）＜0得0＜x＜1或1＜x＜e，即可求出單調遞減區間；
（2）由已知，若存在x₀∈[e，+∞），使函數g（x）=aelnx+$\frac{1}{2}{x^2}-\frac{a+e}{2}$•lnx•f（x）≤a成立，則只需滿足當x∈[e，+∞），g（x）_min≤a即可

解答 解：（1）函數f（x）的定義域為（0，1）∪（1，+∞），f′（x）=$\frac{m（lnx-1）}{（lnx）^{2}}$，
又由題意有：$f′（{e}^{2}）=\frac{m}{4}$=$\frac{1}{2}$，所以m=2，f（x）=$\frac{2x}{lnx}$．
此時，f′（x）=$\frac{2（lnx-1）}{（lnx）^{2}}$，由f′（x）＜0得0＜x＜1或1＜x＜e，
所以函數f（x）的單調遞減區間為（0，1）和（1，e）．…（5分）
（2）因為g（x）=aelnx+$\frac{1}{2}{x}^{2}$-（a+e）x，
由已知，若存在x₀∈[e，+∞），使函數g（x）=aelnx+$\frac{1}{2}{x^2}-\frac{a+e}{2}$•lnx•f（x）≤a成立，
則只需滿足當x∈[e，+∞），g（x）_min≤a即可．…（6分）
又g（x）=aelnx+$\frac{1}{2}{x}^{2}$-（a+e）x，
則g′（x）=$\frac{（x-a）（x-e）}{x}$，…（7分）
a≤e，則g′（x）≥0在x∈[e，+∞）上恒成立，
∴g（x）在[e，+∞）上單調遞增，
∴g（x）_min=g（e）=-$\frac{{e}^{2}}{2}$，
∴a≥-$\frac{{e}^{2}}{2}$，
∵a≤e，
∴-$\frac{{e}^{2}}{2}$≤a≤e．…（9分）
a＞e，則g（x）在[e，a）上單調遞減，在[a，+∞）上單調遞增，
∴g（x）在[e，+∞）上的最小值是g（a），
∵g（a）＜g（e），a＞e，∴滿足題意，
綜上所述，a≥-$\frac{{e}^{2}}{2}$．…（12分）

點評 本題主要考查函數、導數等基本知識．考查運算求解能力及化歸思想、函數方程思想、分類討論思想的合理運用，注意導數性質的合理運用．