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已知函數f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)與x軸相切,若直線y=c與y=c+5分別交f(x)的圖象于A,B,C,D四點,且四邊形ABCD的面積為25,則正實數c的值為
 
考點:二次函數的性質
專題:函數的性質及應用
分析:由函數f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的圖象與x軸相切,可得:△=a2-4b=0,由四邊形ABCD是一個以AB,CD為兩底,高為5的梯形,S=25=
1
2
(AB+CD)×5,結合韋達定理,構造關于c的方程,解方程可得答案.
解答: 解:∵函數f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的圖象與x軸相切,
∴△=a2-4b=0,
設函數f(x)=x2+ax+b的圖象與直線y=c交于A,B兩點,
即A,B兩點的橫坐標為方程:x2+ax+b-c=0的兩根,
故AB=|x1-x2|=
(x1+x2)2-4x1x2
=
a2-4b+4c
=2
c

設函數f(x)=x2+ax+b的圖象與直線y=c+5交于C,D兩點,
同時可得:CD=2
c+5

此時四邊形ABCD是一個以AB,CD為兩底,高為5的梯形,
S=25=
1
2
(AB+CD)×5=(
c
+
c+5
)×5,
c
+
c+5
=5,
解得:c=4,
故答案為:4
點評:本題考查的知識點是二次函數的圖象和性質,二次方程根與系數的關系,其中由韋達定理及四邊形ABCD是一個以AB,CD為兩底,高為5的梯形,構造關于c的方程是解答的關鍵.
練習冊系列答案
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已知函數f(x)=
log2x,x>0
3xx≤0
,且關于x的方程f(x)+x-a=0有且只有一個實根,則實數a的取值范圍是
 

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下列命題中真命題的序號是
 

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②若x+y≠8,則x≠2或y≠6;
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④“若x、y∈R,且xy=0,則x、y中至少有一個為0”的否命題.

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1,x>0
0,x=0
-1,x<0
,則函數f(x)=g(lnx)-ln2x的零點個數為
 

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個.

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25
6
π+cos
26
3
π+tan(-
27
4
π)=
 

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1
2x
n的展開式中第3項的二項式系數是15,則n的值為(  )
A、6B、5C、4D、3

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