Question

14．已知函數f（x）=x²+2ax，x∈[-5，5]．
（1）若y=f（x）-2x是偶函數，求f（x）的最大值和最小值；
（2）如果f（x）在[-5，5]上是單調函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用函數是偶函數，列出方程求出a，然后利用二次函數配方法求解函數的最值即可．
（2）利用二次函數的對稱軸與區間，列出不等式求解即可．

解答 解：（1）因為y=f（x）-2x=x²+2ax-2x=x²+（2a-2）x是偶函數，
所以2a-2=0，a=1，…..（3分）
則f（x）=x²+2x=（x+1）²-1，x∈[-5，5]，那么$f（x）_{max}^{\;}=f（5）=35$，
f（x）_min=f（-1）=-1．                                  …..（6分）
（2）因為f（x）在[-5，5]上是單調函數，
又因對稱軸為$x=-\frac{2a}{2}=-a$
所以-a≤-5或-a≥5，解得a≥5或a≤-5，
則實數a的取值范圍是（-∞，-5]∪[5，+∞）…..（12分）

點評 本題考查二次函數的簡單性質的應用，考查轉化思想以及計算能力．