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如圖，已知△ABC內接于⊙O，直徑CD⊥AB，垂足為E．弦BF交CD于點M，交AC于點N，且BF＝AC，連結AD、AM．

求證：(1)△ACM≌△BCM；

(2)AD·BE＝DE·BC；

(3)BM²＝MN·MF．

如圖，△ABC內接于⊙O，高BE、AD交于點P．延長BD、CE，分別交⊙O于點M、N．求證：

(1)PE＝ME，PD＝ND．

(2)點C為△PMN的外心．

如圖，在⊙O中，AB是直徑，CD是弦，AB⊥CD．

(1)P是上一點(不與C，D重合)，求證：∠CPD＝∠COB；

(2)點在劣弧上(不與C，D重合)時，∠與∠COB有什么數量關系？請證明你的結論．

已知，如圖，AB是⊙O的一條弦，點C為的中點，CD是⊙O的直徑，過C點的直線l交AB所在直線于點E，交⊙O于點F．

(1)判定圖中∠CEB與∠FDC的數量關系，并寫出結論；

(2)直線l繞C點旋轉(與CD不重合)，在旋轉過程中，E點、F點的位置也隨之變化，請在下面兩個備用圖中分別畫出l在不同位置時，使(1)的結論仍然成立的圖形，標上相應字母，選其中一個圖形給予證明．

如圖，已知半圓O的直徑AB＝4，將一個三角板的直角頂點固定在圓心O上，當三角板繞著點O轉動時，三角板的兩條直角邊與半圓圓周分別交于C、D兩點，連結AD、BC交于點E．

(1)求證：△ACE∽△BDE；

(2)求證：BD＝DE恒成立；

(3)設BD＝x，求△AEC的面積y與x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍．

如圖①，空投物資用的某種降落傘的軸截面如圖②所示，△ABG是等邊三角形，C、D是以AB為直徑的半圓O的兩個三等分點，CG、DG分別交AB于點E、F．試判斷點E、F分別位于所在線段的什么位置？并證明你的結論(證一種情況即可)．

如圖，⊙O與相交于A、B兩點，點O在上，的弦OC交AB于點D．

(1)求證：OA²＝OC·OD；

(2)如果AC＋BC＝，⊙O的半徑為r，求證：AB＝．

已知：如圖，△ABC是等邊三角形，過AB邊上的點D作DG∥BC，交AC于點G，在GD的延長線上取點E，使DE＝DB，連接AE、CD．

(1)求證：△AGE≌△DAC；

(2)過點E作EF∥DC，交BC于點F，請你連接AF，并判斷△AEF是怎樣的三角形，試證明你的結論．

將一張矩形紙片沿對角線剪開，得到兩張三角形紙片，再將這兩張三角形紙片擺放成如下右圖的形式，使點B、F、C、D在同一條直線上．

(1)求證：AB⊥ED；

(2)若PB＝BC，請找出圖中與此條件有關的一對全等三角形，并給予證明．

如圖，已知：⊙O₁與⊙O₂是等圓，它們相交于A、B兩點，O₂在⊙O₁上，AC是⊙O₂的直徑，直線CB交⊙O₁于D，E為AB延長線上一點，連接DE．

(1)請你連接AD，證明：AD是⊙O₁的直徑；

(2)若∠E＝60°，求證：DE是⊙O₁的切線．