Question

如圖，已知：⊙O₁與⊙O₂是等圓，它們相交于A、B兩點，O₂在⊙O₁上，AC是⊙O₂的直徑，直線CB交⊙O₁于D，E為AB延長線上一點，連接DE．

(1)請你連接AD，證明：AD是⊙O₁的直徑；

(2)若∠E＝60°，求證：DE是⊙O₁的切線．

Answer 1

答案：
解析：

(1)證明：連接AD，∵AC是⊙O2的直徑，∴AB⊥DC，∴∠ABD＝90°，∴AD為⊙O1的直徑． 　　(2)證法一：∵AD是為⊙O1的直徑，∴點O1為AD中點．連接O1O2，∵點O2在⊙O1上，⊙O1與⊙O2的半徑相等，∴O1O2＝AO1＝AO2，∴△AO1O2是等邊三角形，∴∠AO1O2＝60°．由三角形中位線定理得：O1O2∥DC，∴∠ADB＝∠AO1O2＝60°．∵AB⊥DC，∠E＝60°，∴∠BDE＝30°，∴∠ADE＝∠ADB＋∠BDE＝60°＋30°＝90°，又AD是直徑，∴DE是⊙O1的切線．證法二：連接O1O2，∵點O2在⊙O1上，⊙O1與⊙O2的半徑相等，∴點O1在⊙O2上．∴AO1＝AO2＝O1O2，∴∠O1AO2＝60°．∵AB是公共弦，∴AB⊥O1O2，∴∠O1AB＝30°．∵∠E＝60°，∴∠ADE＝180°－(∠E＋∠O1AB)＝180°－(60°＋30°)＝90°．由(1)知：AD是⊙O1的直徑，∴DE是⊙O1的切線．