Question

3．如圖，直線y=-$\frac{3}{2}$x+3分別交y軸、x軸于點A，B，拋物線y=-4x²+bx+c經過點A，B，點P在該拋物線的圖象上，作PN⊥x軸于點N，PN交射線AB于點F，連結AP，設點P橫坐標為n（n＞0）．
（1）求該拋物線的表達式；
（2）若AP∥x軸，求n的值；
（3）是否存在n的值，使得以點P，F，A為頂點的三角形與△FNB相似？若存在，求出滿足條件的n的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）首先求出A、B兩點坐標，利用待定系數法，轉化為方程組解決．
（2）因為AP∥x軸，所以點P的縱坐標為3，當y=3時，3=-4x²+$\frac{13}{2}$x+3，解方程即可解決問題．
（3）分兩種情形討論，①當PA⊥AB時，②當AP⊥PF時，分別求解即可．

解答 解：（1）∵直線y=-$\frac{3}{2}$x+3分別交y軸、x軸于點A，B，
∴A（0，3），B（2，0），
把A、B兩點坐標代入y=-4x²+bx+c，得$\left\{\begin{array}{l}{c=3}\\{-16+2b+c=0}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{13}{2}}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=-4x²+$\frac{13}{2}$x+3．

（2）∵AP∥x軸，
∴點P的縱坐標為3，
當y=3時，3=-4x²+$\frac{13}{2}$x+3，解得x=0或$\frac{13}{8}$，
∴n=$\frac{13}{8}$．

（3）如圖，①當PA⊥AB時，

∵∠PAF=∠FNB=90°，∠AFP=∠NFB，
∴△PAF∽△BNF，
∵直線AB的解析式為y=-$\frac{3}{2}$x+3，PA⊥AB，
∴直線AP的解析式為y=$\frac{2}{3}$x+3，
$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{2}{3}x+3}\\{y=-4{x}^{2}+\frac{13}{2}x+3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{35}{24}}\\{y=\frac{143}{36}}\end{array}\right.$，
∴P（$\frac{35}{24}$，$\frac{143}{36}$）．

②當AP⊥PF時，∵∠APF=∠FNB=90°，∠AFP=∠NFB，
∴△APF∽△BNF，
∵AP∥x軸，
由（2）可知，P（$\frac{13}{8}$，3），
綜上所述，滿足條件的n的值為$\frac{35}{24}$或$\frac{13}{8}$．

點評 本題考查二次函數綜合題、一次函數的應用、相似三角形的判定和性質．兩直線垂直的條件等知識，解題的關鍵是學會用分類討論的思想思考問題，學會構建一次函數，利用方程組求 兩個函數圖象的交點坐標，屬于中考壓軸題．