Question

如圖，拋物線C₁：y=（x+m）²（m為常數，m＞0），平移拋物線y=﹣x²，使其頂點D在拋物線C₁位于y軸右側的圖象上，得到拋物線C₂．拋物線C₂交x軸于A，B兩點（點A在點B的左側），交y軸于點C，設點D的橫坐標為a．

（1）如圖1，若m=．

①當OC=2時，求拋物線C₂的解析式；

②是否存在a，使得線段BC上有一點P，滿足點B與點C到直線OP的距離之和最大且AP=BP？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由；

（2）如圖2，當OB=2﹣m（0＜m＜）時，請直接寫出到△ABD的三邊所在直線的距離相等的所有點的坐標（用含m的式子表示）．

Answer 1

解：（1）當m=時，拋物線C₁：y=（x+）²．

∵拋物線C₂的頂點D在拋物線C₁上，且橫坐標為a，

∴D（a，（a+）²）．

∴拋物線C₂：y=﹣（x﹣a）²+（a+）² （I）．

①∵OC=2，∴C（0，2）．

∵點C在拋物線C₂上，

∴﹣（0﹣a）²+（a+）²=2，

解得：a=，代入（I）式，

得拋物線C₂的解析式為：y=﹣x²+x+2．

②在（I）式中，

令y=0，即：﹣（x﹣a）²+（a+）²=0，解得x=2a+或x=﹣，∴B（2a+，0）；

令x=0，得：y=a+，∴C（0，a+）．

設直線BC的解析式為y=kx+b，則有：

，解得，

∴直線BC的解析式為：y=﹣x+（a+）．

假設存在滿足條件的a值．

∵AP=BP，

∴點P在AB的垂直平分線上，即點P在C₂的對稱軸上；

∵點B與點C到直線OP的距離之和≤BC，只有OP⊥BC時等號成立，

∴OP⊥BC．

如答圖1所示，設C₂對稱軸x=a（a＞0）與BC交于點P，與x軸交于點E，

則OP⊥BC，OE=a．

∵點P在直線BC上，∴∴P（a，a+），PE=a+．

∵tan∠EOP=tan∠BCO===2，

∴==2，

解得：a=．

∴存在a=，使得線段BC上有一點P，滿足點B與點C到直線OP的距離之和最大且AP=BP

（3）∵拋物線C₂的頂點D在拋物線C₁上，且橫坐標為a，

∴D（a，（a+m）²）．

∴拋物線C₂：y=﹣（x﹣a）²+（a+m）²．

令y=0，即﹣（x﹣a）²+（a+m）²=0，解得：x₁=2a+m，x₂=﹣m，∴B（2a+m，0）．

∵OB=2﹣m，∴2a+m=2﹣m，∴a=﹣m．

∴D（﹣m，3）．

AB=OB+OA=2﹣m+m=2．

如答圖2所示，設對稱軸與x軸交于點E，則DE=3，BE=AB=，OE=OB﹣BE=﹣m．

∵tan∠ABD===，∴∠ABD=60°．

又∵AD=BD，∴△ABD為等邊三角形．

作∠ABD的平分線，交DE于點P₁，則P₁E=BE•tan30°=•=1，

∴P₁（﹣m，1）；

在△ABD形外，依次作各個外角的平分線，它們相交于點P₂、P₃、P₄．

在Rt△BEP₂中，P₂E=BE•tan60°=•=3，

∴P₂（﹣m，﹣3）；

易知△ADP₃、△BDP₄均為等邊三角形，∴DP₃=DP₄=AB=2，且P₃P₄∥x軸．

∴P₃（﹣﹣m，3）、P₄（3﹣m，3）．

綜上所述，到△ABD的三邊所在直線的距離相等的所有點有4個，

其坐標為：P₁（﹣m，1），P₂（﹣m，﹣3），P₃（﹣﹣m，3），P₄（3﹣m，3）．