Question

6．（1）如圖1，△ABC和△E中，AB=CB，DB=EB，∠ABC=∠DBE=90°，D點在AB上，連接AE、DC．則AE和CD有什么數量和位置關系？
（2）類比：
若將圖1中的△DBE繞點B逆時針旋轉一個銳角，如圖2所示，問圖2中的線段AE，CD之間的數量和位置關系還成立嗎？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）延長CD交AE于K，根據全等三角形的性質得到AE=CD，∠EAB=∠DCB，由于∠DCB+∠CDB=90°，于是得到結論；
（2）由于∠DBE=∠ABC=90°，得到∠ABE=∠DBC，根據全等三角形的性質得到AE=CD，∠EAB=∠DCB，等量代換得到∠KOA+∠KAO=90°，于是得到結論．

解答 解：（1）AE=CD，AE⊥CD，
理由：延長CD交AE于F，
在△AEB和△CDB中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠CBD=90°}\\{AB=BC}\\{BE=DB}\end{array}\right.$，
∴△AEB≌△CDB（SAS）
∴AE=CD，
∠EAB=∠DCB，
∵∠DCB+∠CDB=90°，
∠ADF=∠CDB，
∴∠ADF+∠DAF=90°，
∴∠AFD=90°，
∴AE⊥CD；

（2）解：（2）AE=CD，AE⊥CD，
∵∠DBE=∠ABC=90°，
∴∠ABE=∠DBC，
在△AEB和△CDB中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABE=∠DBC}\\{BE=BD}\end{array}\right.$
∴△AEB≌△CDB，
∴AE=CD，∠EAB=∠DCB，
∵∠DCB+∠COB=90°，∠AOK=∠COB，
∴∠KOA+∠KAO=90°，
∴∠AKC=90°，
∴AE⊥CD．

點評 此題考查了全等三角形的判定與性質，用到的知識點全等三角形的判定與性質，關鍵是能在較復雜的圖形中找出全等的三角形．